收敛定理在不同的数学领域有不同的表述和应用，以下是一些常见的收敛定理：

微积分中的收敛定理

• 魏尔斯特拉斯定理：如果函数(f(x))在闭区间([a,b])上连续，那么对于任意给定的正数(\epsilon)，存在多项式函数(P(x))，使得对于闭区间([a,b])上的所有(x)，都有(\vert f(x)-P(x)\vert<\epsilon)成立。即闭区间上的连续函数可以用多项式函数一致逼近，从函数逼近的角度体现了一种收敛性。
• 牛顿-莱布尼茨公式：设函数(f(x))在区间([a,b])上连续，且(F(x))是(f(x))的一个原函数，则(\int_{a}^{b}f(x)dx = F...

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损失函数（Loss Function）是用于衡量模型预测结果与真实结果之间差异的函数，在机器学习和深度学习中具有至关重要的作用，以下是关于损失函数的详细介绍：

常见损失函数

• 回归任务损失函数
  • 均方误差（Mean Squared Error，MSE）：即L2 Loss，计算预测值与真实值之间误差的平方的平均值，公式为(MSE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2)，其中(n)为样本数量，(y_i)为第(i)个样本的真实值，(\hat{y}_i)为第(i)个样本的预测值。MSE对误差进行平方操作，放大了较大误差的影响，常用于数据分布相对较为规...

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L2 Loss即均方误差损失（Mean Squared Error Loss），是一种在机器学习和深度学习中常用的损失函数，主要用于衡量模型预测值与真实值之间的差异。以下是对其的详细介绍：

定义

对于一个具有(n)个样本的数据集，假设模型的预测值为(\hat{y}i)，真实值为(y_i)，那么L2 Loss的计算公式为：(L2 Loss=\frac{1}{n}\sum^{n}(\hat{y}_i - y_i)^2)。

特点

• 连续可导：这使得在使用基于梯度的优化算法（如随机梯度下降）时，可以方便地计算梯度并更新模型参数，从而能够有效地进行模型训练。
• 对异常值敏感：由于是误差的平方项，异常...

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1. 概念与数据结构
2. 输入数据格式：二维卷积层主要用于处理二维数据，最典型的是二维图像数据。对于一幅彩色图像，其数据通常以三维张量的形式表示，格式为（高度，宽度，通道数）。例如，常见的RGB彩色图像，通道数为3，分别代表红色（R）、绿色（G）和蓝色（B）通道。如果图像的高度为$h$，宽度为$w$，那么整个图像数据的形状就是（$h$，$w$，3）。

3. 卷积核的形式：二维卷积核同样是一个小的张量，其形状通常为（卷积核高度，卷积核宽度，输入通道数，输出通道数）。例如，一个用于处理RGB图像的3x3卷积核，若要输出10个不同的特征图，其形状为（3，3，3，10）。这里的输入通道数要与输入图像的通道数...

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1. 定义与基本结构
2. 卷积层（Convolutional Layer）是卷积神经网络（CNN）的核心组件。它主要由输入数据、卷积核（也称为滤波器）和输出特征图（Feature Map）构成。输入数据通常是图像（例如，对于彩色图像，通道数为3，包括红、绿、蓝通道）或者其他具有类似网格结构的数据。卷积核是一个小的权重矩阵，其大小通常为正方形，如3×3、5×5等，用于对输入数据进行卷积操作。

3. 例如，对于一个单通道的灰度图像，大小为28×28，一个3×3的卷积核会在这个图像上滑动。在每个滑动位置，卷积核与对应的图像局部区域进行逐元素相乘，然后将乘积相加，得到一个输出值。这个输出值构成了输出特征图中...

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1. 卷积神经网络（CNN）中平移不变性的概念

2. 在卷积神经网络中，平移不变性是指网络对输入图像（或其他数据）的平移具有鲁棒性。具体而言，当输入图像中的目标物体发生位置平移时，卷积神经网络仍然能够有效地提取出该物体的特征，并做出相同（或相似）的分类或预测。例如，一个训练好的用于识别手写数字的卷积神经网络，不管数字“7”在图像的中心位置，还是在图像的左上角或者其他位置，网络都应该能够正确地识别它。

3. 卷积层如何实现平移不变性

4. 卷积核的滑动机制：卷积层通过卷积核在输入图像上滑动进行卷积操作来提取特征。卷积核的权重是固定的，在整个图像上以固定的步长滑动。例如，一个3x3的卷积核在一个5x5的图...

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1. 定义

2. AutoML（Automated Machine Learning）即自动化机器学习，是一种将机器学习模型的选择、超参数优化和管道构建等过程自动化的技术。它的目的是让没有深厚机器学习专业知识的用户也能够轻松地应用机器学习来解决实际问题，同时提高机器学习应用开发的效率。

3. 主要组成部分

4. 模型选择自动化：
   • AutoML系统能够根据数据的特点（如数据类型、数据量、数据分布等）自动筛选合适的机器学习模型。例如，对于结构化的数值数据且数据量较小的回归任务，它可能会优先考虑线性回归、决策树回归等简单模型；对于图像数据的分类任务，它会倾向于选择卷积神经网络（CNN）模型。
   • 这些系统通常会...

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1. 定义

2. GPU（Graphics Processing Unit）即图形处理器，是一种专门用于处理图形和图像相关任务的电子芯片。它最初是为了加速计算机图形渲染，比如在视频游戏中快速生成逼真的3D场景和角色动画、在专业图形设计软件（如Adobe Photoshop、Autodesk 3ds Max）中高效处理图像特效和复杂的模型渲染等。

3. 工作原理

4. 高度并行架构：GPU拥有众多的处理核心（通常有成百上千个），相比CPU（中央处理器）的少数几个核心，这种架构使得GPU能够同时处理多个任务或数据片段。例如，在渲染一个包含数百万个三角形的3D模型时，GPU可以将这些三角形分配到各个核心上同...

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1. 定义与背景

2. AlexNet是一种具有开创性意义的深度卷积神经网络（Convolutional Neural Network，CNN）架构。它在2012年的ImageNet大规模视觉识别挑战赛（ILSVRC）中取得了巨大的成功，显著降低了图像分类任务的错误率，推动了深度学习在计算机视觉领域的广泛应用。

3. 网络架构特点

4. 层数与结构：
   • AlexNet包含8层，其中5个卷积层和3个全连接层。卷积层主要用于自动提取图像中的局部特征，例如边缘、纹理等。例如，第一个卷积层使用了96个大小为11×11、步长为4的卷积核，这一层可以快速捕捉图像中的大尺度特征。
   • 全连接层则用于将前面提取的特征进行整...

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1. 定义
2. RMSE是均方根误差（Root - Mean - Square Error）的缩写，它是一种用于衡量预测模型准确性的统计指标。对于一组预测值(\hat{y}i)和对应的真实值(y_i)（(i = 1,2,\cdots,n)），RMSE的计算公式为：(RMSE=\sqrt{\frac{1}{n}\sum^{n}(\hat{y}_i - y_i)^2})。

3. 简单来说，它先计算每个预测值与真实值差的平方的平均值，然后再取平方根。例如，有真实值序列([1,2,3])和预测值序列([1.2,1.8,3.1])，先计算差的平方：((1.2 - 1)^2+(1.8 - 2)^2+(3.1 -...

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