收敛定理在不同的数学领域有不同的表述和应用，以下是一些常见的收敛定理：

微积分中的收敛定理

• 魏尔斯特拉斯定理：如果函数(f(x))在闭区间([a,b])上连续，那么对于任意给定的正数(\epsilon)，存在多项式函数(P(x))，使得对于闭区间([a,b])上的所有(x)，都有(\vert f(x)-P(x)\vert<\epsilon)成立。即闭区间上的连续函数可以用多项式函数一致逼近，从函数逼近的角度体现了一种收敛性。
• 牛顿-莱布尼茨公式：设函数(f(x))在区间([a,b])上连续，且(F(x))是(f(x))的一个原函数，则(\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a))。它表明定积分与原函数之间的关系，当对区间([a,b])进行无限细分时，黎曼和将收敛到定积分的值，体现了积分和的收敛性。

实分析中的收敛定理

• 单调收敛定理：设({a_n})是单调递增的实数序列，且有上界，则({a_n})收敛，即存在实数(a)，使得(\lim_{n \to \infty}a_n = a)；同理，若({a_n})是单调递减的实数序列，且有下界，则({a_n})也收敛。该定理为判断单调数列的收敛性提供了依据。
• 控制收敛定理：设({f_n})是可测函数列，几乎处处收敛于函数(f)，如果存在可积函数(g)，使得对于所有的(n)，(\vert f_n\vert \leq g)几乎处处成立，那么(\lim_{n \to \infty}\int f_n d\mu=\int f d\mu)。它在积分与极限交换次序的问题中起着关键作用，给出了在一定条件下极限运算与积分运算可交换的依据。

泛函分析中的收敛定理

• 巴拿赫不动点定理：设((X, d))是完备的度量空间，(T: X \to X)是一个压缩映射，即存在常数(k \in (0, 1))，对于所有的(x, y \in X)，都有(d(T(x), T(y)) \leq kd(x, y))，那么(T)在(X)中有且仅有一个不动点(x^)，即(T(x^) = x^)，并且对于任意的(x_0 \in X)，迭代序列(x_{n + 1} = T(x_n))都收敛于(x^)。该定理在求解方程、证明存在唯一性等方面有广泛应用。
• 谱定理：对于希尔伯特空间上的自伴算子(A)，存在一个谱测度(E)，使得(A)可以表示为关于(E)的积分形式，并且(A)的幂级数展开等运算可以通过谱测度进行计算。谱定理揭示了自伴算子的结构和性质，其证明过程中涉及到算子序列的收敛等概念。

概率论中的收敛定理

• 大数定律：包括弱大数定律和强大数定律。弱大数定律表明，当样本容量(n)足够大时，样本均值依概率收敛于总体均值；强大数定律则指出，样本均值几乎必然收敛于总体均值。例如，重复独立地掷一枚均匀硬币，随着掷硬币次数的增加，正面朝上的频率会越来越接近(0.5)，这体现了大数定律所描述的收敛性。
• 中心极限定理：设({X_n})是独立同分布的随机变量序列，且具有有限的均值(\mu)和方差(\sigma^2)，则当(n)趋于无穷大时，标准化的样本和(\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma})依分布收敛于标准正态分布(N(0, 1))。中心极限定理在实际应用中非常广泛，它为许多统计推断和近似计算提供了理论依据。