均方根误差

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  1. 定义
  2. RMSE是均方根误差（Root - Mean - Square Error）的缩写，它是一种用于衡量预测模型准确性的统计指标。对于一组预测值(\hat{y}i)和对应的真实值(y_i)（(i = 1,2,\cdots,n)），RMSE的计算公式为：(RMSE=\sqrt{\frac{1}{n}\sum^{n}(\hat{y}_i - y_i)^2})。

  3. 简单来说，它先计算每个预测值与真实值差的平方的平均值，然后再取平方根。例如，有真实值序列([1,2,3])和预测值序列([1.2,1.8,3.1])，先计算差的平方：((1.2 - 1)^2+(1.8 - 2)^2+(3.1 - 3)^2 = 0.04+0.04+0.01 = 0.09)，然后求平均值(\frac{0.09}{3}=0.03)，最后取平方根得到(RMSE=\sqrt{0.03}\approx0.173)。

  4. 与其他误差指标的比较

  5. 与平均绝对误差（MAE）：MAE的计算公式为(MAE=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}|\hat{y}_i - y_i|)。RMSE对误差进行了平方操作，这使得较大的误差在RMSE中占比更大，对异常值更敏感。例如，有一个离群的预测值，其产生的误差在RMSE计算中会因为平方操作而被放大。相比之下，MAE只是简单地计算误差的绝对值的平均值，对异常值相对没那么敏感。

  6. 与决定系数（(R^2)）：(R^2)衡量的是模型解释数据变异的比例，范围在((-\infty,1])之间。(R^2 = 1)表示模型完美拟合数据，而RMSE的值越小表示模型预测越准确。(R^2)从拟合优度的角度来评估模型，RMSE更侧重于直接衡量预测值与真实值之间的差异。

  7. 应用场景

  8. 回归分析：在各种回归模型（如线性回归、多项式回归、岭回归等）中广泛应用。例如，在预测房屋价格的线性回归模型中，RMSE可以用来评估模型预测的房价与实际房价之间的误差大小。如果RMSE较小，说明模型能够较为准确地预测房屋价格；反之，则说明模型需要改进。
  9. 时间序列预测：对于股票价格预测、天气预测等时间序列数据的预测任务，RMSE可以帮助评估预测模型的性能。例如，在预测股票价格走势的模型中，通过比较不同模型（如ARIMA模型和深度学习模型）的RMSE，可以选择性能更好的模型来进行实际应用。
  10. 模型比较与选择：当有多个预测模型可供选择时，RMSE是一个重要的比较指标。可以根据RMSE的值来选择最适合的模型。例如，在机器学习竞赛中，参赛者通常会比较不同模型的RMSE来优化和选择自己的模型，以获得更好的成绩。