收敛理论是数学分析的核心内容之一，涉及多个分支，涵盖数列、函数、级数、泛函空间、概率论及数值分析等领域。以下是其核心要点和分类：

1. 数列收敛

• 定义：数列 ({a_n}) 收敛于极限 (L)，当且仅当对任意 (\varepsilon > 0)，存在 (N) 使得当 (n > N) 时，(|a_n - L| < \varepsilon)。
• 柯西准则：数列收敛当且仅当它是柯西序列（即任意两项的差随下标增大而任意小）。
• 实数完备性：实数空间中，柯西序列必收敛，这是分析学的基础。

2. 函数收敛

• 点态收敛：对每个 (x)，函数序列 ({f_n(x)}) 收敛到 (f(x))。
• 一致收敛：存在统一的 (N) 使得对所有 (x)，当 (n > N) 时，(|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon)。一致收敛保持连续性、可积性和可微性。
• 例子：
• (f_n(x) = x/n) 在有限区间上一致收敛到0，但在无限区间上不一致收敛。
• (f_n(x) = x^n) 在 ([0,1)) 上点态收敛到0，但在 ([0,1]) 上不一致收敛。

3. 级数收敛

• 绝对收敛与条件收敛：
• 若 (\sum |a_n|) 收敛，则原级数绝对收敛，具有重排不变性。
• 若原级数收敛但 (\sum |a_n|) 发散，则为条件收敛（如交错调和级数）。
• 判别法：比较判别法、比值判别法、根值判别法、莱布尼茨判别法。

4. 泛函分析中的收敛

• 强收敛（依范数收敛）：(|f_n - f| \to 0)。
• 弱收敛：对任意连续线性泛函 (F)，有 (F(f_n) \to F(f))。
• 性质：在自反空间中，有界序列含弱收敛子列；弱收敛+范数收敛⇒强收敛。

5. 测度论与概率论中的收敛

• 几乎处处收敛：除零测集外，处处收敛。
• 依测度收敛：对任意 (\varepsilon > 0)，测度 (\mu(|f_n - f| > \varepsilon) \to 0)。
• 概率收敛：
• 依概率收敛（对应依测度收敛）。
• 几乎必然收敛（对应几乎处处收敛）。
• 依分布收敛：分布函数弱收敛。

6. 数值分析中的收敛速度

• 线性收敛：误差按比例减少，(|e_{k+1}| \leq C|e_k|)，(C < 1)。
• 二次收敛：误差平方减少，(|e_{k+1}| \leq C|e_k|^2)（如牛顿迭代法）。

7. 关键定理

• 控制收敛定理：若 (|f_n| \leq g) 且 (g) 可积，则积分与极限可交换。
• Egorov定理：几乎处处收敛在有限测度集上“近似”一致收敛。
• 大数定律与中心极限定理：概率论中依概率收敛与依分布收敛的典型应用。

8. 拓扑空间中的收敛

• 网与滤子：在非度量拓扑中，网的收敛更通用。
• 性质：弱拓扑下的收敛由连续泛函决定，紧性与收敛性密切相关（如Alaoglu定理）。

总结

收敛理论通过不同数学结构（如数列、函数、空间）定义了多种收敛方式，每种方式对应特定性质与应用。理解其核心定义、判别条件及相互关系（如强/弱、几乎处处/依测度），是掌握分析学、概率论及数值方法的关键。通过具体例子（如函数序列、概率模型、数值算法）可深化对不同收敛类型的直观认识。