伯努利分布-

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  1. 定义
  2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）是一种离散型概率分布，它用于描述只有两种可能结果的随机试验。这两种结果通常被标记为(0)和(1)，例如成功（(1)）和失败（(0)）。

  3. 设(X)是服从伯努利分布的随机变量，(p)表示一次试验中结果为(1)（成功）的概率，那么(X)的概率质量函数（PMF）为(P(X = k)=p^{k}(1 - p)^{1 - k})，其中(k = 0,1)。

  4. 示例

  5. 抛硬币是典型的伯努利分布例子。设正面朝上为成功（(X = 1)），反面朝上为失败（(X = 0)）。如果硬币是公平的，那么正面朝上的概率(p=\frac{1}{2})。

  6. 根据伯努利分布的概率质量函数，抛一次硬币，正面朝上的概率(P(X = 1)=\left(\frac{1}{2}\right)^{1}\left(1 - \frac{1}{2}\right)^{1 - 1}=\frac{1}{2})，反面朝上的概率(P(X = 0)=\left(\frac{1}{2}\right)^{0}\left(1 - \frac{1}{2}\right)^{1 - 0}=\frac{1}{2})。

  7. 性质

  8. 均值（期望）：伯努利分布的均值(E(X)=p)。这是因为(E(X)=0\times P(X = 0)+1\times P(X = 1)=0\times(1 - p)+1\times p = p)。例如，在上述抛硬币例子中，如果(p = \frac{1}{2})，那么多次抛硬币后，平均下来正面朝上的次数比例趋近于(\frac{1}{2})。

  9. 方差：方差(Var(X)=p(1 - p))。计算过程为(Var(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2})，其中(E(X^{2})=0^{2}\times P(X = 0)+1^{2}\times P(X = 1)=p)，所以(Var(X)=p - p^{2}=p(1 - p))。例如，当(p=\frac{1}{2})时，方差(Var(X)=\frac{1}{2}\times\left(1 - \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4})。

  10. 与其他分布的关系

  11. 二项分布：伯努利分布是二项分布的基础。二项分布描述的是(n)次独立重复的伯努利试验中成功的次数。如果每次试验成功的概率为(p)，进行(n)次试验，成功次数(X)服从二项分布，其概率质量函数为(P(X = k)={n\choose k}p^{k}(1 - p)^{n - k})。当(n = 1)时，二项分布就退化为伯努利分布。

  12. 几何分布：几何分布也与伯努利分布有关。几何分布描述的是在一系列独立的伯努利试验中，首次成功时所进行的试验次数。例如，不断抛硬币直到首次出现正面，试验次数(X)服从几何分布。

  13. 应用场景

  14. 决策理论：在决策问题中，伯努利分布可以用来表示两种不同决策结果的概率。例如，企业决定是否推出一款新产品，成功（盈利）的概率为(p)，失败（亏损）的概率为(1 - p)，这里就可以用伯努利分布来建模。
  15. 信号处理：在数字通信中，信号的传输可以看作是伯努利试验。例如，二进制信号系统中，信号(0)或(1)的传输成功或失败概率可以用伯努利分布来描述。