从数学角度更严格地讲，概率是基于样本空间（Sample Space）定义的。样本空间是一个实验所有可能结果的集合。例如，掷骰子的样本空间是({1,2,3,4,5,6})，而某个事件（如掷出偶数）是样本空间的一个子集（这里是({2,4,6})），这个事件的概率就是该子集元素个数与样本空间元素个数的比值（在这个例子中是(3/6 = 0.5)）。

概率的计算方法

• 古典概型是最简单的概率模型。它要求样本空间中的每个基本事件发生的可能性相等。计算公式为(P(A)=\frac{n(A)}{n(S)})，其中(P(A))是事件(A)的概率，(n(A))是事件(A)包含的基本事件个数，(n(S))是样本空间(S)包含的基本事件总数。例如，从一副52张扑克牌中随机抽取一张红桃的概率，样本空间(n(S) = 52)，红桃的数量(n(A)=13)，所以概率(P(A)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4})。

• 几何概型用于处理与几何区域相关的概率问题。如果一个试验的样本空间可以用一个几何区域（如线段、平面区域或空间区域）来表示，并且每个点在这个区域内出现的可能性相等，那么事件(A)的概率等于事件(A)对应的几何区域的度量（长度、面积或体积）与样本空间对应的几何区域的度量之比。例如，在一个边长为1的正方形内随机取一点，该点落在以正方形中心为圆心、半径为0.5的圆内的概率，根据面积计算，圆的面积为(\pi\times(0.5)^2)，正方形面积为(1\times1)，所以概率为(\frac{\pi\times(0.5)^2}{1}=\frac{\pi}{4})。

• 条件概率是指在某个事件(B)已经发生的条件下，事件(A)发生的概率，记作(P(A|B))。其计算公式为(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)})，其中(P(A\cap B))是事件(A)和(B)同时发生的概率。例如，已知一个班级中有男生和女生，事件(A)是学生喜欢数学，事件(B)是学生是男生，(P(A\cap B))表示男生中喜欢数学的概率，(P(B))表示是男生的概率，那么在是男生的条件下喜欢数学的概率就是(P(A|B))。

• 设事件(B_1,B_2,\cdots,B_n)是样本空间(S)的一个划分（即(B_i\cap B_j=\varnothing)（(i\neq j)）且(\bigcup_{i = 1}^{n}B_i = S)），则对于任意事件(A)，有(P(A)=\sum_{i = 1}^{n}P(A|B_i)P(B_i))。例如，一个工厂有三条生产线生产同一种产品，每条生产线的产品占总产量的比例不同，并且每条生产线产品的次品率也不同。我们可以利用全概率公式计算从该厂生产的产品中随机抽取一件是次品的概率。

贝叶斯公式（Bayes' Formula）

• 贝叶斯公式是在条件概率和全概率公式的基础上推导出来的，用于在已知结果的情况下反推原因的概率。公式为(P(B_j|A)=\frac{P(A|B_j)P(B_j)}{\sum_{i = 1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)})，其中(P(B_j|A))是在事件(A)发生的条件下事件(B_j)发生的概率。例如，在医学诊断中，已知某种疾病的发病率（先验概率(P(B_j))），以及某种检测方法对于患有和未患有该疾病的检测正确率（条件概率(P(A|B_j))和(P(A|\overline{B_j}))），可以利用贝叶斯公式计算在检测结果为阳性的情况下，真正患有该疾病的概率（后验概率(P(B_j|A))）。

概率的应用场景

• 在风险评估方面，银行需要评估贷款申请人的违约风险。通过分析大量的历史数据，计算出不同信用等级客户的违约概率，从而决定是否发放贷款以及贷款的利率。例如，根据信用评分模型，一个信用评分为700分的客户违约概率为0.05，银行可以基于这个概率来制定贷款策略。
• 在投资领域，概率用于投资组合优化。投资者需要考虑不同资产在各种市场条件下的收益率概率分布，以构建一个风险 - 收益平衡的投资组合。例如，股票市场中，某只股票上涨、下跌或持平的概率会影响投资者对该股票的配置比例。

• 在物理学中，量子力学大量使用概率来描述微观粒子的行为。例如，电子在原子中的位置不是确定的，而是以一定的概率分布在原子周围的空间中，这种概率分布可以用波函数来描述。
• 在生物学中，遗传学也涉及概率。例如，在孟德尔遗传定律中，通过计算不同基因型组合的概率来预测后代的性状。如果父母的基因型是(Aa)和(Aa)，那么后代出现(AA)、(Aa)、(aa)基因型的概率分别是(\frac{1}{4})、(\frac{1}{2})、(\frac{1}{4})，从而可以预测后代表现出显性或隐性性状的概率。

• 在保险行业，保险公司根据事故发生的概率来制定保险费率。例如，车险公司会根据汽车型号、驾驶员年龄、驾驶记录等因素来估计车辆发生事故的概率，进而确定保险费用。
• 在彩票和游戏中，概率是核心概念。例如，彩票中奖号码的产生是随机的，每个号码组合都有相同的概率被选中。在扑克牌游戏中，玩家可以根据牌面出现的概率来制定游戏策略，如在德州扑克中计算自己手牌组成各种牌型的概率，从而决定下注策略。