定义

• 在数学和线性代数领域，对于一个方阵(A)，如果存在一个非零向量(x)和一个标量(\lambda)，使得(Ax = \lambda x)，那么向量(x)被称为方阵(A)的特征向量（eigenvector），标量(\lambda)称为对应的特征值（eigenvalue）。简单来说，特征向量是在矩阵变换下方向不变（可能会反向），而长度可能会改变的向量。例如，对于一个旋转矩阵，如果有向量在旋转后方向不变（只是长度可能改变），那么这个向量就是该旋转矩阵的特征向量。

计算方法

• 特征方程法：对于(n\times n)方阵(A)，计算特征值是通过求解特征方程(\det(A - \lambda I)=0)，其中(\det)表示行列式，(I)是(n\times n)的单位矩阵。求出特征值(\lambda)后，将每个(\lambda)代入方程((A - \lambda I)x = 0)，求解这个齐次线性方程组，得到的非零解(x)就是对应于(\lambda)的特征向量。例如，对于矩阵(A=\begin{bmatrix}2&1\1&2\end{bmatrix})，其特征方程为(\det\begin{pmatrix}2 - \lambda&1\1&2 - \lambda\end{pmatrix}=0)，即((2 - \lambda)^2 - 1 = 0)，解得(\lambda_1 = 1)，(\lambda_2 = 3)。当(\lambda = 1)时，代入((A - \lambda I)x = 0)，即(\begin{bmatrix}1&1\1&1\end{bmatrix}x = 0)，解得(x = k\begin{bmatrix}-1\1\end{bmatrix})（(k\neq0)），这就是对应于(\lambda = 1)的特征向量；同理可求出(\lambda = 3)对应的特征向量。
• 数值计算方法：对于大型矩阵，手工计算特征向量和特征值很困难，通常使用数值计算方法。例如，幂法是一种常用的求矩阵主特征值（绝对值最大的特征值）和对应的特征向量的迭代算法。其基本思想是从一个初始非零向量(v_0)开始，不断迭代计算(v_{k + 1}=Av_k)，并对(v_{k + 1})进行归一化处理，当(k)足够大时，(v_k)会收敛到主特征向量，通过计算(\frac{v_{k + 1}^TAv_k}{v_k^TAv_k})可以得到主特征值。

性质

• 线性无关性：实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是线性无关的。例如，对于一个(3\times3)的实对称矩阵(A)，如果有三个不同的特征值(\lambda_1)、(\lambda_2)和(\lambda_3)，它们对应的特征向量(x_1)、(x_2)和(x_3)是线性无关的。这一性质在矩阵对角化等过程中非常重要，因为可以利用这些线性无关的特征向量构建一个可逆矩阵，将原矩阵对角化。
• 特征向量空间：对于一个特征值(\lambda)，所有对应于(\lambda)的特征向量加上零向量构成一个向量空间，称为特征空间。例如，对于矩阵(A)的某个特征值(\lambda)，如果(x_1)和(x_2)是对应于(\lambda)的特征向量，那么对于任意实数(c_1)和(c_2)，向量(c_1x_1 + c_2x_2)也是对应于(\lambda)的特征向量（只要(c_1x_1 + c_2x_2\neq0)），这个向量集合就构成了特征空间。

应用领域

• 物理学中的应用：在量子力学中，薛定谔方程(H\Psi = E\Psi)，其中(H)是哈密顿算符（可以看作矩阵），(\Psi)是波函数（向量），(E)是能量本征值。这里的波函数(\Psi)就是哈密顿算符(H)的特征向量，能量本征值(E)就是对应的特征值。通过求解特征向量和特征值，可以得到量子系统的能量状态和相应的波函数，这对于理解微观粒子的行为和性质至关重要。
• 计算机图形学中的应用：在三维图形变换中，例如旋转、缩放和平移等操作可以用矩阵来表示。特征向量可以用于确定物体在变换过程中的不变方向。例如，在对一个三维物体进行旋转操作时，旋转轴的方向就是旋转矩阵的特征向量，这有助于理解和控制物体的旋转效果，在动画制作、三维建模等领域有重要应用。
• 数据挖掘和机器学习中的应用：在主成分分析（PCA）中，对数据的协方差矩阵求特征向量和特征值。特征向量表示数据变化最大的方向，通过选择主要的特征向量可以将高维数据投影到低维空间，同时保留数据的主要信息，用于数据的降维和可视化等操作，在图像识别、文本分类等领域广泛应用。