泰勒展开（Taylor Expansion）是一种用函数在某一点的信息来描述其附近取值的数学方法。它的基本思想是将一个复杂的函数表示为一个无穷级数的和，这个无穷级数是由函数在某一点的各阶导数构成的。

对于一个函数(f(x))，如果它在点(x = a)处具有(n)阶导数，那么它在(a)点附近可以展开为泰勒级数：(f(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^{n})，其中(f^{(n)}(a))表示(f(x))在(a)点的(n)阶导数，(n!)是(n)的阶乘。

泰勒多项式（有限项展开）

在实际应用中，通常只取泰勒级数的前几项来近似表示函数，这就是泰勒多项式。例如，取到(n = 3)时，函数(f(x))在(a)点附近的泰勒多项式为：(f(x)\approx f(a)+f^{\prime}(a)(x - a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2!}(x - a)^{2}+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x - a)^{3})。

以函数(f(x)=\sin x)在(x = 0)处的泰勒展开为例。首先，(f(0)=\sin0 = 0)，(f^{\prime}(x)=\cos x)，所以(f^{\prime}(0)=\cos0 = 1)；(f^{\prime \prime}(x)=-\sin x)，(f^{\prime \prime}(0)=0)；(f^{(3)}(x)=-\cos x)，(f^{(3)}(0)=-1)。那么(\sin x)在(x = 0)附近的泰勒多项式（取到(n = 3)）为：(\sin x\approx0 + 1\cdot x+\frac{0}{2!}x^{2}+\frac{-1}{3!}x^{3}=x-\frac{1}{6}x^{3})。

应用场景

函数近似计算：当计算一些复杂函数的值时，如果直接计算比较困难，可以利用泰勒展开进行近似计算。例如，计算(\sqrt{4.1})。考虑函数(f(x)=\sqrt{1 + x})，在(x = 0)附近展开。(f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{1 + x}})，(f^{\prime}(0)=\frac{1}{2})；(f^{\prime \prime}(x)=-\frac{1}{4(1 + x)^{\frac{3}{2}}})，(f^{\prime \prime}(0)=-\frac{1}{4})。泰勒多项式（取到(n = 2)）为(f(x)\approx1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2})。令(x = 3.1)，则(\sqrt{4.1}=\sqrt{1 + 3.1}\approx1+\frac{1}{2}\times3.1-\frac{1}{8}\times(3.1)^{2}\approx2.025)（这是一个近似值）。

极限计算：在计算一些复杂的极限时，泰勒展开可以帮助简化计算。例如，求(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x - x}{x^{3}})。将(\sin x)展开为(x-\frac{1}{6}x^{3}+O(x^{5}))（其中(O(x^{5}))表示(x^{5})的高阶无穷小），代入原式可得(\lim_{x\rightarrow0}\frac{(x-\frac{1}{6}x^{3})- x}{x^{3}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{-\frac{1}{6}x^{3}}{x^{3}}=-\frac{1}{6})。

分析函数性质：通过泰勒展开可以研究函数的局部性质，如函数在某一点的凹凸性等。例如，根据泰勒多项式的二次项系数可以判断函数在某一点附近的凹凸性。如果二次项系数大于(0)，函数在该点附近是下凸的；如果小于(0)，则是上凸的。

与其他数学概念的联系

麦克劳林级数：当泰勒展开中的(a = 0)时，称为麦克劳林级数（Maclaurin Series）。它是泰勒级数的一个特殊情况，许多常见函数的麦克劳林级数形式非常有用，如(e^{x}=1 + x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots)，(\cos x = 1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots)，这些麦克劳林级数在数学分析和工程计算等领域广泛应用。

幂级数：泰勒展开得到的级数是幂级数的一种。幂级数(\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}(x - a)^{n})在其收敛区间内可以表示一个函数，泰勒展开则是根据函数的导数来确定幂级数的系数(a_{n})，从而将一个已知函数表示为幂级数的形式。