逻辑回归（Logistic Regression） 是一种广泛用于分类问题的统计方法，它与线性回归相似，但主要用于二分类问题（即输出是0或1的情况）。尽管名字中有“回归”二字，逻辑回归其实是一种分类算法，它通过使用逻辑函数（Sigmoid函数）来将线性回归的输出映射到一个0到1之间的概率值，从而进行分类。
1. 逻辑回归的基本原理
逻辑回归的核心思想是通过一个线性回归模型对输入特征进行加权求和，然后通过一个Sigmoid函数（也称为Logistic函数）将结果转化为概率，最后根据概率值判断样本属于哪一类。
逻辑回归模型的表达
逻辑回归的输出是一个概率值，表示样本属于某一类别的概率。假设我们有一个输入特征 ( x )，逻辑回归模型的数学表达式如下：
[ P(y = 1 \mid x) = \sigma(\beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \cdots + \beta_n x_n) ]
其中： - ( P(y = 1 \mid x) ) 是样本属于类别1的概率（输出值为1的概率）。 - ( \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} ) 是Sigmoid函数，定义了将输入值映射到[0, 1]之间的概率值。 - ( \beta_0 ) 是截距项，( \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n ) 是回归系数（权重）。 - ( x_1, x_2, \dots, x_n ) 是输入特征。
Sigmoid函数
Sigmoid函数（又叫逻辑函数）是一个S形曲线，它的数学公式为：
[ \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} ]
Sigmoid函数将线性回归的输出值（无论是正数还是负数）映射到0到1之间的概率值。输出值越接近1，表示样本属于类别1的概率越大；输出值越接近0，表示样本属于类别0的概率越大。
2. 逻辑回归的目标
逻辑回归的目标是根据训练数据集找到最优的回归系数 ( \beta_0, \beta_1, \dots, \beta_n )，使得模型能够对新样本进行准确的分类预测。
损失函数
在逻辑回归中，我们使用对数似然函数作为损失函数，来衡量模型预测概率与实际标签之间的差距。对于二分类问题，损失函数的表达式如下：
[ L(\beta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \left[ y_i \log(h(x_i)) + (1 - y_i) \log(1 - h(x_i)) \right] ]
其中： - ( h(x_i) = \sigma(\beta_0 + \beta_1 x_1 + \dots + \beta_n x_n) ) 是预测的概率。 - ( y_i ) 是真实标签，( y_i \in {0, 1} )。 - ( m ) 是样本的总数。
目标
通过最小化损失函数来寻找模型的最优参数 ( \beta_0, \beta_1, \dots, \beta_n )。最常用的优化方法是梯度下降法。
3. 逻辑回归的模型训练
训练逻辑回归模型的过程就是通过迭代优化损失函数来找到最优的回归系数。常见的训练方法有：
(1) 梯度下降法（Gradient Descent）
梯度下降法通过计算损失函数对回归系数的梯度，并沿着梯度的反方向更新参数，直到损失函数收敛为止。每次参数更新的公式为：
[ \beta_j := \beta_j - \alpha \cdot \frac{\partial L(\beta)}{\partial \beta_j} ]
其中： - ( \alpha ) 是学习率，控制每次迭代的步长。 - ( \frac{\partial L(\beta)}{\partial \beta_j} ) 是损失函数对参数 ( \beta_j ) 的偏导数。
(2) 牛顿法（Newton's Method）
牛顿法是另一种优化算法，通常比梯度下降法收敛速度更快。牛顿法通过使用Hessian矩阵（损失函数的二阶导数）来计算参数更新的方向和步长。
4. 逻辑回归的决策边界
逻辑回归的输出是一个概率值，我们通常通过设定一个阈值来决定样本的类别。常见的做法是将概率值大于等于0.5的样本预测为类别1，概率值小于0.5的样本预测为类别0。
即，如果 ( P(y = 1 \mid x) \geq 0.5 )，则预测类别为1；否则，预测类别为0。
决策边界
在二维空间中，逻辑回归的决策边界是一个线性分割平面。我们可以通过以下条件来表示决策边界：
[ \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 = 0 ]
这个平面将特征空间分为两个部分，每个部分代表一个类别。
5. 逻辑回归的评估指标
逻辑回归的性能评估常用的指标有：
- 准确率（Accuracy）：预测正确的样本占所有样本的比例。适用于类别分布均衡的情况。
[ Accuracy = \frac{TP + TN}{TP + TN + FP + FN} ]
其中，TP是真阳性（True Positive），TN是真阴性（True Negative），FP是假阳性（False Positive），FN是假阴性（False Negative）。
- 精确率（Precision）：预测为正类的样本中，实际为正类的比例。
[ Precision = \frac{TP}{TP + FP} ]
- 召回率（Recall）：实际为正类的样本中，预测为正类的比例。
[ Recall = \frac{TP}{TP + FN} ]
- F1分数（F1-Score）：精确率和召回率的调和平均数，用于综合考虑精确率和召回率。
[ F1 = 2 \cdot \frac{Precision \cdot Recall}{Precision + Recall} ]
- ROC曲线和AUC：ROC曲线表示不同阈值下的假阳性率和真阳性率，AUC（曲线下面积）则反映了模型的分类能力。
6. 逻辑回归的优缺点
优点：
- 简单易懂：逻辑回归模型简单，容易实现，计算量小，适合快速建模。
- 高效：在二分类问题中，逻辑回归模型具有较好的训练效率。
- 概率输出：模型提供的输出是一个概率值，能够为每个样本提供分类的信心度。
缺点：
- 线性假设：逻辑回归假设特征与类别之间的关系是线性的，无法有效处理特征之间的复杂非线性关系。
- 对多重共线性敏感：当输入特征之间高度相关时，逻辑回归的性能会下降。
- 对异常值敏感：尽管逻辑回归通过Sigmoid函数限制输出在0到1之间，但它仍然对异常值比较敏感。
7. 逻辑回归的应用
逻辑回归广泛应用于各种二分类问题，如： - 疾病预测：例如，基于患者的特征预测是否患有某种疾病（如糖尿病、癌症等）。 - 信用评分：银行或金融机构使用逻辑回归来预测借款人是否违约。 - 电子商务：根据用户行为数据预测用户是否会购买某个商品。 - 垃圾邮件过滤：根据邮件内容和发件人信息预测邮件是否是垃圾邮件。
8. 结论
逻辑回归是一种经典且高效的分类算法，特别适用于二分类问题。它通过将线性回归的输出值映射到0到1之间的概率值，实现对样本的分类预测。尽管逻辑回归简单易懂，但它对特征之间的关系要求较为简单，因此在面对复杂