对角矩阵

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  1. 定义

    • 对角矩阵（Diagonal Matrix）是一种方阵，即行数和列数相等的矩阵。在对角矩阵中，除了主对角线（从左上角到右下角的对角线）上的元素外，其余元素都为0。主对角线元素可以是任意实数或复数。例如，一个(3\times3)的对角矩阵(D)可以表示为(D = \begin{bmatrix}a&0&0\0&b&0\0&0&c\end{bmatrix})，其中(a)、(b)、(c)是主对角线上的元素。

  2. 性质

    • 乘法性质
      • 对角矩阵与同阶方阵相乘相对简单。设(A)是一个(n\times n)的对角矩阵(A=\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\0&a_{22}&\cdots&0\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\0&0&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix})，(B)是另一个(n\times n)方阵。那么(AB)的第(i)行第(j)列元素((AB){ij}=\sum^{n}a_{ik}b_{kj})，由于(a_{ik})（当(i\neq k)时）为0，所以((AB){ij}=ab_{ij})。这意味着对角矩阵与方阵相乘，相当于用对角矩阵主对角线上的元素分别乘以方阵对应的行元素。例如，若(A=\begin{bmatrix}2&0&0\0&3&0\0&0&4\end{bmatrix})，(B=\begin{bmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{bmatrix})，则(AB=\begin{bmatrix}2\times1&2\times2&2\times3\3\times4&3\times5&3\times6\4\times7&4\times8&4\times9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&4&6\12&15&18\28&32&36\end{bmatrix})。
      • 对角矩阵之间的乘法也很简便。若有两个对角矩阵(A=\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\0&a_{22}&\cdots&0\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\0&0&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix})和(B=\begin{bmatrix}b_{11}&0&\cdots&0\0&b_{22}&\cdots&0\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\0&0&\cdots&b_{nn}\end{bmatrix})，则它们的乘积(AB=\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&0&\cdots&0\0&a_{22}b_{22}&\cdots&0\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\0&0&\cdots&a_{nn}b_{nn}\end{bmatrix})。
    • 对角矩阵的幂运算
      • 对于对角矩阵(A=\begin{bmatrix}a&0&0\0&b&0\0&0&c\end{bmatrix})，(A)的(n)次幂(A^n=\begin{bmatrix}a^n&0&0\0&b^n&0\0&0&c^n\end{bmatrix})。例如，若(A=\begin{bmatrix}2&0&0\0&3&0\0&0&4\end{bmatrix})，则(A^2=\begin{bmatrix}2^2&0&0\0&3^2&0\0&0&4^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4&0&0\0&9&0\0&0&16\end{bmatrix})。
    • 对角矩阵的特征值和特征向量
      • 对角矩阵的特征值就是其主对角线上的元素。例如，对于对角矩阵(D = \begin{bmatrix}a&0&0\0&b&0\0&0&c\end{bmatrix})，其特征值为(\lambda_1 = a)，(\lambda_2 = b)，(\lambda_3 = c)。对应的特征向量分别为(e_1=\begin{bmatrix}1\0\0\end{bmatrix})，(e_2=\begin{bmatrix}0\1\0\end{bmatrix})，(e_3=\begin{bmatrix}0\0\1\end{bmatrix})（在不考虑特征向量的倍数关系的情况下）。

  3. 对角化过程

    • 若一个(n\times n)的方阵(A)可相似于一个对角矩阵(D)，则存在一个可逆矩阵(P)，使得(A = PDP^{-1})。这个过程称为矩阵(A)的对角化。一个矩阵可对角化的充分必要条件是它有(n)个线性无关的特征向量。例如，对于矩阵(A=\begin{bmatrix}2&1\1&2\end{bmatrix})，它的特征值为(\lambda_1 = 1)，(\lambda_2 = 3)，对应的特征向量分别为(v_1=\begin{bmatrix}-1\1\end{bmatrix})和(v_2=\begin{bmatrix}1\1\end{bmatrix})。令(P=\begin{bmatrix}-1&1\1&1\end{bmatrix})，则(P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}-1&1\1&1\end{bmatrix})，可以验证(A = P\begin{bmatrix}1&0\0&3\end{bmatrix}P^{-1})，即矩阵(A)可对角化。

  4. 应用领域

    • 线性变换：在二维或三维空间的线性变换中，对角矩阵代表了一种特殊的变换。例如，在二维空间中，对角矩阵(\begin{bmatrix}a&0\0&b\end{bmatrix})表示在(x)轴方向拉伸（或压缩）(a)倍，在(y)轴方向拉伸（或压缩）(b)倍的变换。这种变换保持坐标轴方向不变，只是改变了坐标轴方向上的长度。
    • 解线性方程组：对于线性方程组(Ax = b)，如果(A)是对角矩阵，那么求解就变得非常简单。例如，对于方程组(\begin{bmatrix}a&0&0\0&b&0\0&0&c\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\x_2\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_1\b_2\b_3\end{bmatrix})，则解为(x_1=\frac{b_1}{a})，(x_2=\frac{b_2}{b})，(x_3=\frac{b_3}{c})。在一些复杂的线性方程组求解过程中，若能将系数矩阵对角化，会大大简化求解过程。
    • 量子力学：在量子力学的矩阵表示中，对角矩阵用于表示可观察量的本征值。例如，哈密顿算符的本征值（能量本征值）可以用对角矩阵表示，其对角元素就是系统可能的能量值，对应的特征向量是系统的本征态，这对于理解量子系统的状态和能量等性质非常重要。